Desvende A Equação (x-7)(x-3)+10x=30: Encontre O Valor De X

Fala, galera! Sejam muito bem-vindos ao nosso bate-papo de hoje sobre matemática, onde vamos mergulhar de cabeça em um problema que, à primeira vista, pode parecer um bicho de sete cabeças, mas eu garanto: é só uma questão de seguir os passos e desmistificar tudo. Estamos falando da equação (x-7)(x-3)+10x=30. Sabe, a matemática, muitas vezes, é vista como algo super complicado, cheio de regras chatas e números que não fazem sentido. Mas, na real, ela é uma ferramenta poderosa, quase um superpoder, que nos ajuda a entender o mundo, resolver problemas e até mesmo prever coisas. E equações como essa são a base para desvendar muitos mistérios. Hoje, nosso objetivo é encontrar o valor de x que satisfaz essa equação, e vamos fazer isso juntos, passo a passo, de um jeito bem tranquilo e fácil de entender. Esqueça aquela ideia de que matemática é só para gênios; aqui, a gente vai mostrar que é para todo mundo que tem um pouquinho de curiosidade e vontade de aprender. Vamos explorar cada detalhe, desde a expansão dos termos até a chegada na solução final. Além disso, temos algumas alternativas para considerar: A) 5, B) 6, C) 7, D) 8. É super importante a gente entender o processo, porque ele não só nos dá a resposta para este problema específico, mas nos equipa para enfrentar qualquer desafio matemático que apareça. Então, pegue seu café, se aconchegue e prepare-se para desvendar os segredos dessa equação de um jeito divertido e descomplicado. Afinal, a melhor forma de aprender é se jogando, né? Bora lá desmistificar essa tal de álgebra e mostrar que ela pode ser super legal e acessível a todos!

O Primeiro Passo: Expandindo os Termos (x-7)(x-3)

Beleza, pessoal, vamos começar nossa jornada desvendando a primeira parte da equação: (x-7)(x-3). Esse é o tipo de multiplicação que a gente chama de multiplicação de binômios, e a forma mais comum de fazer isso é usando a famosa técnica FOIL. Pra quem não lembra, FOIL é um acrônimo em inglês para First, Outer, Inner, Last (Primeiro, Externo, Interno, Último), e é uma forma sistemática de garantir que você multiplique cada termo do primeiro parêntese por cada termo do segundo parêntese. É fundamental não pular essa etapa, porque qualquer erro aqui pode comprometer todo o restante do nosso cálculo. Vamos aplicar o FOIL com calma e atenção. Primeiro, multiplicamos os termos Primeiros de cada parêntese: x * x, que resulta em x². Fácil, né? Depois, passamos para os termos Externos: x * -3, que nos dá -3x. Lembrem-se sempre de prestar muita atenção aos sinais! Negativos são traiçoeiros se a gente não tiver cuidado. Em seguida, multiplicamos os termos Internos: -7 * x, que resulta em -7x. E, por fim, os termos Últimos: -7 * -3. Aqui, um dica de ouro: negativo vezes negativo dá positivo, então -7 * -3 se torna +21. Viram só? É como um quebra-cabeça, cada peça se encaixando. Após realizar todas essas multiplicações, a gente junta tudo que expandimos: x² - 3x - 7x + 21. Essa é a expansão completa da primeira parte da nossa equação. Notem que temos dois termos com x (-3x e -7x), que podemos combinar para simplificar. É como juntar maçãs com maçãs, sabe? Juntos, eles se tornam -10x. Portanto, (x-7)(x-3) se transforma em x² - 10x + 21. Esse é um passo crucial porque nos tira da forma fatorada e nos coloca na forma de um polinômio, que é muito mais fácil de trabalhar para resolver a equação. Pensem nisso como tirar a casca de uma fruta para chegar à polpa. A habilidade de expandir corretamente binômios é uma das bases da álgebra e é amplamente utilizada em diversas áreas da matemática e ciência. Então, dominar o FOIL é realmente um superpoder em suas mãos! Garanta que você entendeu cada pedacinho dessa expansão antes de avançarmos, ok? A prática leva à perfeição, então, não hesite em fazer mais alguns exercícios semelhantes. Bora pro próximo passo!

Simplificando e Organizando: Chegando à Forma Padrão

Show de bola! Depois de expandirmos (x-7)(x-3) para x² - 10x + 21, agora é hora de trazer o resto da equação para a festa e começar a organizar a casa, ou seja, simplificar e rearranjar tudo para chegar à tão desejada forma padrão de uma equação quadrática: ax² + bx + c = 0. Essa é a chave para a maioria dos métodos de solução, então preste bastante atenção! Nossa equação original era (x-7)(x-3)+10x=30. Substituindo a parte que já expandimos, a equação agora fica assim: x² - 10x + 21 + 10x = 30. Viram como já está começando a clarear? O próximo passo é combinar os termos semelhantes no lado esquerdo da equação. Aqui, a gente percebe algo bem legal: temos -10x e +10x. Esses dois termos, quando somados, se anulam mutuamente! É como se um cancelasse o outro, deixando o lado esquerdo da equação ainda mais simples. Então, -10x + 10x = 0. Isso nos deixa com x² + 21 = 30. Incrível, né? Às vezes, a matemática nos surpreende com essas simplificações elegantes. Agora, para chegar à forma ax² + bx + c = 0, precisamos mover todos os termos para um lado da equação, geralmente o lado esquerdo, deixando o lado direito igual a zero. No nosso caso, o 30 está do lado direito. Para passá-lo para o lado esquerdo, a gente faz a operação inversa: subtraímos 30 de ambos os lados da equação. Lembra da regra de que o que você faz em um lado, tem que fazer no outro para manter a igualdade? Então, ficamos com x² + 21 - 30 = 0. Combinando os termos constantes (+21 e -30), temos 21 - 30 = -9. Pronto! Nossa equação agora está na sua forma mais simples e padrão: x² - 9 = 0. Pessoal, essa é uma forma quadrática bem especial, onde o termo bx (o termo com x elevado a 1) é zero. Isso significa que ela pode ser resolvida de maneira super direta e rápida. Chegar a essa forma padrão é crucial porque ela nos permite usar uma variedade de métodos de resolução que foram desenvolvidos especificamente para esse tipo de estrutura. É como ter um mapa claro para chegar ao tesouro! Sem essa organização, a gente ficaria perdido no meio dos números. Dominar a arte de simplificar e organizar é uma habilidade valiosíssima não só em matemática, mas em qualquer área da vida onde você precise lidar com problemas complexos. Mantenham o foco e vamos para o próximo passo, que é resolver essa belezinha!

A Chave da Solução: Resolvendo a Equação Quadrática x² - 9 = 0

Agora que chegamos à nossa equação quadrática super simplificada, x² - 9 = 0, estamos prontos para a parte mais emocionante: encontrar os valores de x que a satisfazem! Essa é a cereja do bolo, galera. Como eu mencionei antes, essa é uma equação quadrática sem o termo x (ou seja, b=0), o que a torna particularmente fácil de resolver. Existem algumas maneiras de abordar isso, mas as mais diretas para este caso são isolar o x² ou fatorar a diferença de quadrados. Vamos explorar a primeira opção, que é bem intuitiva. Nosso objetivo é isolar o x. Primeiro, vamos mover o termo -9 para o lado direito da equação. Lembra da regrinha? Se a gente tem -9 de um lado, ao passá-lo para o outro lado, ele muda de sinal, tornando-se +9. Então, x² - 9 = 0 se transforma em x² = 9. Viram só como a coisa está se desenrolando? Agora, para encontrar o x, precisamos nos livrar desse expoente 2. A operação inversa de elevar ao quadrado é tirar a raiz quadrada. E aqui vem um ponto importantíssimo: quando tiramos a raiz quadrada de um número, especialmente em equações, devemos considerar tanto o valor positivo quanto o negativo da raiz. Por quê? Porque, por exemplo, 3 * 3 = 9 e -3 * -3 = 9. Ambos os valores, quando elevados ao quadrado, resultam em 9. Então, tirar a raiz quadrada de 9 nos dá x = ±√9. E qual é a raiz quadrada de 9? Sim, é 3! Portanto, temos duas soluções para x: x = 3 e x = -3. Ambas as respostas são válidas para a equação x² - 9 = 0. Isso é algo que muita gente esquece, pensando apenas na raiz positiva, mas em equações quadráticas, a solução é quase sempre dupla. Essa é uma das características mais marcantes dessas equações. Entender essa dualidade é crucial para resolver muitos problemas em física, engenharia, e até mesmo em economia, onde um valor pode ter dois cenários possíveis. A beleza da matemática está nesses detalhes que, quando compreendidos, abrem um leque de possibilidades. Então, guardem bem isso: x = 3 e x = -3 são as raízes da nossa equação. Estamos quase lá, pessoal! Agora que temos a solução, vamos ver como ela se encaixa com as alternativas que nos foram dadas. Isso vai ser um momento de reflexão e aprendizado sobre como interpretar os resultados. Continuem comigo!

Verificando Nossas Raízes e as Alternativas

E aí, pessoal! Chegamos ao momento da verdade, onde vamos pegar nossas soluções (x = 3 e x = -3) e confrontá-las com as alternativas que nos foram dadas: A) 5, B) 6, C) 7, D) 8. É essencial fazer essa verificação, porque ela não só confirma se nossas contas estão corretas, mas também nos ajuda a entender a dinâmica do problema. A gente resolveu a equação (x-7)(x-3)+10x=30 passo a passo e, sem sombra de dúvidas, chegamos aos valores x = 3 e x = -3 como as soluções. Agora, vamos comparar: Nossas soluções são 3 e -3. As alternativas são 5, 6, 7, 8. Perceberam algo? Nenhuma das nossas soluções corresponde a nenhuma das alternativas propostas. Isso é um ponto muito importante para a gente discutir. O que isso significa? Significa que, se a questão exigisse que a resposta fosse uma das alternativas fornecidas, então haveria um problema na questão ou nas alternativas. No entanto, nossa missão era resolver a equação passo a passo para encontrar a resposta correta. E a resposta correta, a partir da nossa resolução rigorosa, é que x pode ser 3 ou -3. Isso é um exemplo clássico de como a matemática nos ensina a confiar no processo e nos resultados que ele gera, mesmo que eles não se encaixem perfeitamente nas expectativas ou nas opções pré-determinadas. É um lembrete valioso de que nem sempre a resposta está